在三角形 ABC 中，已知 AB = 5 cm, BC = 7 cm, ∠ABC = 60°. 求 AC 的长度。
解题步骤：
1. 识别已知：边 AB = c = 5 cm, 边 BC = a = 7 cm, ∠B = 60°
2. 求边 AC = b，使用公式：b² = a² + c² - 2ac cos B
3. 代入计算：b² = 7² + 5² - 2×7×5×cos 60° = 49 + 25 - 70×0.5 = 74 - 35 = 39
4. 因此 b = √39 ≈ 6.24 cm
答案：√39 cm 或约 6.24 cm
练习题 2
在三角形 ABC 中，已知 AB = 8 cm, BC = 6 cm, AC = 9 cm。求 ∠BAC 的大小。
解题步骤：
1. 识别已知：边 a = BC = 6 cm, 边 b = AC = 9 cm, 边 c = AB = 8 cm
2. 求角 A，使用公式：cos A = (b² + c² - a²)/(2bc)
3. 代入计算：cos A = (81 + 64 - 36)/(2×9×8) = (109)/(144) ≈ 0.7569
4. 因此 ∠A = arccos(0.7569) ≈ 41°
答案：约 41°
练习题 3
在三角形 ABC 中，已知 AB = 4 cm, AC = 5 cm, ∠BAC = 120°。求 BC 的长度。
解题步骤：
1. 识别已知：边 c = AB = 4 cm, 边 b = AC = 5 cm, ∠A = 120°
2. 求边 a = BC，使用公式：a² = b² + c² - 2bc cos A
3. 代入计算：a² = 25 + 16 - 2×5×4×cos 120° = 41 - 40×(-0.5) = 41 + 20 = 61
4. 因此 a = √61 ≈ 7.81 cm
答案：√61 cm 或约 7.81 cm
综合应用题
以下练习题结合实际应用场景，帮助理解余弦定理的实用性。
练习题 4（实际应用）
两艘船从港口 A 同时出发，一艘沿东北方向航行 50 海里到达 B 点，另一艘沿东南方向航行 60 海里到达 C 点。求两艘船之间的距离 BC。
在三角形 ABC 中，AB = x cm, BC = (x + 3) cm, AC = 8 cm, ∠ABC = 75°。求 x 的值。
解题步骤：
1. 识别已知：边 c = AB = x cm, 边 a = BC = (x + 3) cm, 边 b = AC = 8 cm, ∠B = 75°
2. 使用余弦定理：a² = b² + c² - 2bc cos B
3. 代入：(x + 3)² = 64 + x² - 2×8×x×cos 75°
4. 展开：x² + 6x + 9 = 64 + x² - 16x cos 75°
5. 简化：6x + 9 = 64 - 16x cos 75°
6. 计算 cos 75° ≈ 0.2588，代入：6x + 9 = 64 - 16x×0.2588 ≈ 64 - 4.141x
7. 6x + 4.141x = 64 - 9
8. 10.141x ≈ 55，x ≈ 5.42
答案：x ≈ 5.42 cm
挑战练习题
以下练习题难度较高，需要灵活运用余弦定理。
练习题 6
在三角形 ABC 中，已知 ∠A = 30°, ∠B = 45°, 边 BC = 10 cm。求边 AB 和边 AC 的长度。
解题步骤：
1. 先求 ∠C = 180° - 30° - 45° = 105°
2. 求边 c = AB（对角 C），使用公式：c² = a² + b² - 2ab cos C
3. 但我们需要先确定边 a 和边 b，这里使用正弦定理可能更方便
4. 或者使用余弦定理求其中一边，然后用正弦定理求另一边
5. 使用余弦定理求 AB = c：c² = a² + b² - 2ab cos C，但我们不知道 a 和 b
6. 更好的方法：使用公式 a / sin A = b / sin B = c / sin C
7. 令 2R = a / sin 30° = b / sin 45° = c / sin 105°
8. 但这里可能超出本节范围，建议使用正弦定理